LXXXVI Mосковская математическая олимпиада

8 класс

Задача 1. Даны три различных ненулевых числа. Петя и Вася составляют квадратные уравнения, подставляя эти числа в качестве коэффициентов, но каждый раз в новом порядке. Если у уравнения есть хотя бы один корень, то Петя получает фантик, а если ни одного, то фантик достаётся Васе. Первые три фантика достались Пете, а следующие два — Васе. Можно ли определить, кому достанется последний, шестой фантик? (М. Евдокимов)

Задача 2. На столе в ряд стоят 23 шкатулки, в одной из которых находится приз. На каждой шкатулке написано либо «Здесь приза нет», либо «Приз в соседней шкатулке». Известно, что ровно одно из этих утверждений правдиво. Что написано на средней шкатулке? (М. Евдокимов)

Задача 3. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов одна биссектриса в два раза короче другой. (Е. Бакаев)

Задача 4. Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи есть только нули и единицы. Пусть произведение двух хороших чисел оказалось хорошим числом. Правда ли, что тогда сумма цифр произведения равна произведению сумм цифр сомножителей? (В. Клепцын, К. Кноп)

Задача 5. На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону треугольники $AB'C$, $CA'B$, $BC'A$ так, что получился шестиугольник $AB'CA'BC'$, в котором каждый из углов $A'BC'$, $C'AB'$, $B'CA'$ больше $120$ градусов, а для сторон выполняются равенства $AB'=AC'$, $BC'=BA'$, $CA'=CB'$. Докажите, что из отрезков $AB'$, $BC'$, $CA'$ можно составить треугольник. (Д. Бродский)

Задача 6. На каждую клетку доски $8 \times 8$ поставили по сторожу. Каждый сторож может смотреть в одном из четырёх направлений (вдоль линий доски) и сторожить всех сторожей на линии своего взгляда. Для какого наибольшего $k$ можно так направить взгляды сторожей, чтобы каждого сторожа сторожили не менее $k$ других сторожей? (В. Новиков)

9 класс

Задача 1. Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «$+$», «$-$», «$\times$» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения $(4 - 3) \times (2 + 5) + 1$. Может ли он получить число 123?

Формировать числа из нескольких других нельзя (например, из чисел 1 и 2 нельзя составить число 12). (А. Голованов, А. Соколов)

Задача 2. Даны две последовательности из букв А и Б, в каждой из которых по 100 букв. За одну операцию разрешается вставить в какое-то место последовательности (возможно, в начало или в конец) одну или несколько одинаковых букв или убрать из последовательности одну или несколько подряд идущих одинаковых букв. Докажите, что из первой последовательности можно получить вторую не более чем за 100 операций. (В. Новиков)

Задача 3. Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$. (Д. Бродский)

Задача 4. Дано натуральное число $n\gt1$. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число.

Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному. (Т. Казицына)

Задача 5. Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны. (А. Юран)

Задача 6. Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ и при $n\gt 1$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, большее $a_{n-1}$, что среди чисел $a_0, a_1, \ldots, a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_{2023} \leqslant 100\,000$. (Б. Бутырин)

10 класс

Задача 1. Про четыре целых числа $a,b,c,d$ известно, что $$ a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. $$ Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на 1. (А. Доледенок)

Задача 2. В эстафетном забеге Москва — Петушки участвовали две команды по 20 человек. Каждая из команд по-своему разделила дистанцию на 20 не обязательно равных отрезков и распределила их между участниками так, чтобы каждый бежал ровно один отрезок (скорость каждого участника постоянна, но скорости разных участников могут быть различны). Первые участники обеих команд стартовали одновременно, а передача эстафеты происходит мгновенно. Какое максимальное количество обгонов могло быть в таком забеге? Опережение на границе этапов обгоном не считается. (Е. Неустроева)

Задача 3. Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$. (Д. Бродский)

Задача 4. На экране суперкомпьютера напечатано число $11\ldots 1$ (всего $900$ единиц). Каждую секунду суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде $\overline{AB}$, где $B$ состоит из двух его последних цифр, и заменяется на $2\cdot A + 8\cdot B$ (если $B$ начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, $305$ заменяется на $2\cdot 3 + 8 \cdot 5 = 46$. Если на экране остаётся число, меньшее $100$, то процесс останавливается. Правда ли, что он остановится? (М. Евдокимов)

Задача 5. На плоскости даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, касающиеся внешним образом. На окружности $\omega_1$ выбран диаметр $AB$, а на окружности $\omega_2$ выбран диаметр $CD$. Рассмотрим всевозможные положения точек $A$, $B$, $C$ и $D$, при которых $ABCD$ — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть $I$ — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек $I$. (М. Евдокимов)

Задача 6. На острове живут хамелеоны 5 цветов. Когда один хамелеон кусает другого, цвет укушенного хамелеона меняется на один из этих 5 цветов по некоторому правилу, причём новый цвет зависит только от цвета укусившего и цвета укушенного. Известно, что 2023 красных хамелеона могут договориться о последовательности укусов, после которой все они станут синими. При каком наименьшем $k$ можно гарантировать, что $k$ красных хамелеонов смогут договориться так, чтобы стать синими?

Например, правила могут быть такими: если красный хамелеон кусает зеленого, укушенный меняет цвет на синий; если зеленый кусает красного, укушенный остается красным, то есть «меняет цвет на красный»; если красный хамелеон кусает красного, укушенный меняет цвет на жёлтый, и так далее. (Конкретные правила смены цветов могут быть устроены иначе.) (М. Раскин)

11 класс (1 день)

Задача 1. К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a\operatorname{tg} x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a\neq0$. (В. Клепцын, Г. Мерзон)

Задача 2. Пусть $ABCD$ — параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка $P$ выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников $PAB$ и $PCD$ имеют общую хорду, перпендикулярную $AD$. Докажите, что радиусы данных окружностей равны. (А. Заславский)

Задача 3. Дан многочлен $P(x)$ степени $n\gt 5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней. (М. Малкин)

Задача 4. В турнире по теннису (где не бывает ничьих) участвовало более 4 спортсменов. Каждый игровой день каждый теннисист принимал участие ровно в одной игре. К завершению турнира каждый сыграл с каждым в точности один раз. Назовём игрока упорным, если он выиграл хотя бы один матч и после первой своей победы ни разу не проигрывал. Остальных игроков назовём неупорными. Верно ли, что игровых дней, когда была встреча между неупорными игроками, больше половины? (Б. Френкин)

Задача 5. Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный? (М. Евдокимов)

Задача 6. Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_1=a_2=1$ и при $n\gt 2$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, что среди чисел $a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_n\leqslant \dfrac{n^2+7}{8}$ для любого $n$. (Б. Бутырин)

11 класс (2 день)

Задача 1. Дана строго возрастающая функция $f\colon\mathbb N_0\to\mathbb N_0$ (где $\mathbb N_0$ — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению $f(n+f(m))=f(n)+m+1$ для любых $m,n\in\mathbb N_0$. Найдите все значения, которые может принимать $f(2023)$.

Задача 2. Какое наименьшее количество различных целых чисел нужно взять, чтобы среди них можно было выбрать как геометрическую, так и арифметическую прогрессию длины 5?

Задача 3. В треугольнике $ABC$ высоты $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $H$, точка $M$ — середина стороны $BC$, а $X$ — точка пересечения внутренних касательных к окружностям, вписанным в треугольники $BMF$ и $CME$. Докажите, что точки $X$, $M$ и $H$ лежат на одной прямой.

Задача 4. Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны $\operatorname{arctg}1, \operatorname{arctg}\frac12, \operatorname{arctg}\frac13,\ldots,\operatorname{arctg}\frac1{50}$. Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.

Задача 5. В выпуклом многограннике обозначим через B, P и T соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что $В\sqrt{Р + Т}\geqslant 2Р$.

Например, для тетраэдра (В = 4, Р = 6, Т = 3) выполняется равенство, а для треугольной призмы (В = 6, Р = 9, Т = 1) или куба (В = 8, Р = 12, Т = 0) имеет место строгое неравенство.