63 Московская математическая олимпиада школьников.

Задача 1. Расстояние между двумя машинами, едущими по шоссе, равно 200 км. Скорости машин - 60 км/ч и 80 км/ч. Чему будет равно расстояние между ними через 1 час?
Решение. Возможны четыре случая (сделайте рисунок!):
1) Машины едут навстречу друг другу: 200-(60+80)=60 км;
2) Машины едут в разные стороны: 200+(60+80)=340 км;
3) Машины едут в одну сторону, вторая догоняет первую: 200+(60-80)=180 км;
4) Машины едут в одну сторону, вторая впереди: 200+(80-60)=220 км.
Ответ. Возможны четыре случая: 60, 180, 220 и 340 км.

Задача 2. Как при помощи только пяти цифр 5, знаков арифметических действий и скобок представить каждое из чисел от 0 до 10 включительно?
Решение. Например:
0=(5-5)*(5+5+5)
1=5:5+(5-5)*5
2=(5+5):5+5-5
3=(5*5-5-5):5
4=5-5:5+5-5
5=5+(5-5)*(5+5)
6=5+5:5+5-5
7=5+5:5+5:5
8=5+(5+5+5):5
9=(5*5-5):5+5
10=5+5+(5-5)*5

Задача 3. Ученик написал на доске пример на умножение двузначных чисел. Затем он стёр все цифры и заменил их буквами. Получилось равенство:

AB * CD = MLNKT

Задача 4. В трёх ящиках лежат орехи. В первом орехов на 6 меньше, чем в двух других вместе, а во втором - на 10 меньше, чем в первом и третьем вместе. Сколько орехов в третьем ящике?
Решение. Обозначим через x, y и z количества орехов в каждом из трех ящиков. Сложив два равенства x+6=y+z и y+10=x+z, получим, что 2z=16, откуда z=8.
Ответ. В третьем ящике 8 орехов.

Задача 1. Вася задумал число и разделил его на 100. В результате получилось число, которое на 34,65 меньше задуманного. Какое число задумал Вася?
Решение. Пусть x - число, полученное в результате деления, тогда задуманное число - 100*x. Так как задуманное число на 34,65 больше, то составляем уравнение: 100*x-x=34,65. Дальше можно заметить, что 34,65=35-0,35 и получить ответ x=0,35.
Ответ. 35.

Задача 2. Найдите площадь фигуры, составленной из девяти квадратов, если периметр этой фигуры равен 32 см.

   _ _
 _|_|_|_
|_|   |_|
|_|_ _|_|
  |_|_|

Задача 3. Папа Карло сделал Буратино за 5 дней. На сколько процентов он должен повысить производительность своего труда, чтобы на создание Буратино ушло 4 дня?
Решение. За 20 дней, работая с прежней производительностью, Папа Карло смог бы сделать четыре деревянные куклы, а, работая с новой производительностью, - пять. То есть, за одно и то же время, он сможет сделать на одну куклу больше. Если 4 куклы составляют 100%, то одна кукла - 25%.
Ответ. На 25%.

Задача 4. В озере водятся караси и окуни. Два рыбака поймали 70 рыб, причём 5/9 улова первого рыбака составляли караси, а 7/17 улова второго - окуни. Сколько рыб поймал каждый рыбак?
Решение. Количество рыб, пойманных вторым рыбаком, кратно 17, следовательно, оно может быть равно: 17, 34, 51 или 68. Количество рыб, пойманных первым, может равняться (соответственно) 53, 36, 19 или 2. Но количество рыб, пойманных первым, должно быть кратно 9, откуда получим ответ: первый рыбак поймал 36 рыб, второй - 34.
Заметим, что для данного решения несущественно, что в озере не водится иных рыб, кроме карасей и окуней.
Ответ. Улов 36 рыб и 34 рыбы.

Задача 1. Найдите четырёхзначное число, у которого сумма первых трёх цифр равна 19, а сумма последних трёх цифр равна 27.
Решение. Из того, что сумма трёх цифр равна 27 следует, что все они - девятки.
Ответ. 1999.

Задача 2. В одной четверти леса срубили 20% деревьев, а в остальной части леса - 10% деревьев. Какой процент деревьев срубили во всем лесу?
Решение. Подсчитаем долю деревьев, срубленных во всём лесу: (1/4)*(1/5)+(3/4)*(1/10)=(2/40)+(3/40)=5/40=1/8.
Ответ. 12,5%.

Задача 3. Расположите на плоскости 6 прямых и отметьте на них 7 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено 3 точки.
Решение. Одним из вариантов ответа являются 6 прямых, содержащих 4 стороны произвольного четырёхугольника (не параллелограмма и не трапеции!) и 2 его диагонали, на которых отмечены все 7 точек их пересечения.

Задача 4. Приведите пример дроби, которая больше 11/19, но меньше 7/12. Ответ обоснуйте.
Решение. Приведём дроби к общему знаменателю, получим (11*12)/(12*19)=132/228 и (7*19)(19*12)=133/228. Для получения ответа можно удвоить знаменатель. Конечно, есть много других способов, например, рассмотреть полусумму данных дробей.
Ответ, полученный вычислением на калькуляторе, не засчитывать. Вычисления в столбик до четвёртого знака достаточно. Например, 265/456.

Задача 1. Найдите наибольшее значение выражения xy, если известно, что x+2y=1.
Решение. x=1-2y, получаем:
xy=(1-2y)y=y-2y²=(1/8)-(y^1/2-(1/(2*2^1/2))².
Ответ. 1/8.

Задача 2. Постройте график функции

y=x³((1-x²)^1/2+(x²-1)^1/2).

Задача 3. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана произвольная точка M и из неё опущены перпендикуляры MK и MP на катеты этого треугольника. При каком положении точки M длина отрезка PK будет наименьшей?
Решение. Учитывая равенство диагоналей MC и PK, получаем, что длина отрезка PK будет наименьшей при условии, что CM - высота треугольника ABC. При выборе любой другой точки M₁ на гипотенузе AB, получим прямоугольный треугольник CMM₁, в котором CM - катет, а CM₁ - гипотенуза.
Ответ. M - основание высоты CM.

Задача 4. В шкатулке разбойника лежит несколько драгоценных камней (но не больше 1000). Известно, что 2/9 всех камней составляют алмазы, 4/11 - рубины, 1/7 - сапфиры, а остальные - изумруды. Сколько изумрудов в этой шкатулке?
Решение. (2/9)+(4/11)+(1/7)=505/693. Число 693 - единственное возможное среди чисел, не превосходящих 1000. Поэтому, общее число камней - 693. Доля изумрудов составляет 1-(505/693)=188/693.
Ответ. 188 изумрудов.

Задача 5. На плоскости отмечены 6 точек (как на рисунке), причём АВ=АF; BC=CD; DE=EF. Верно ли, что биссектрисы углов A, C и Е пересекаются в одной точке?

Решение. Верно, так как биссектрисы углов A, C и E являются высотами и медианами треугольников ABF, BCD и DEF, а значит серединными перпендикулярами треугольника BDF.
Ответ. Верно.

Задача 1. Найдите значение x, при котором функция y=(x-a)²+(x-b)² принимает своё наименьшее значение.
Решение. Приведём уравнение к виду: y=2x²-2(a+b)x+(a²+b²). Квадратичная функция с положительным первым коэффициентом свое наименьшее значение принимает в "вершине", то есть при x=-(-2(a+b)/4)=(a+b)/2.
Ответ. При x=(a+b)/2.

Задача 2. АВС - равносторонний треугольник со стороной а. На расстоянии а от вершины А взята точка D. Найдите величину угла BDC.
Решение. Рассмотрим окружность с центром в точке А и радиусом а. Точки В, С и D лежат на этой окружности, следовательно, /BDC - вписанный. Значит, в зависимости от расположения точки D, величина этого угла равна 30^o или 150^o.
Ответ. 30^o или 150^o.

Задача 3. Решите систему уравнений для положительных x, y и z:
x+(1/y)=2-(y-z)²
y+(1/z)=2-(x-y)²
z+(1/x)=2-(z-x)²
Решение. Сложив почленно все уравнения системы, получим уравнение:
x+y+z+(1/x)+(1/y)+(1/z)=6-(x-y)²-(y-z)²-(z-x)². Известно, что при любом положительном значении а выполняется неравенство: а+(1/a)>2. Применяя это свойство положительных взаимно обратных чисел, получим, что при любых положительных x, y и z левая часть уравнения принимает значения большие или равные шести, а правая часть, очевидно, - меньшие или равные шести. Следовательно, равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части уравнения принимают значение 6. Это произойдет, если x=y=z. Подставив это в любое из уравнений системы, имеем, что x=y=z=1.
Ответ. x=y=z=1.

Задача 4. Ваня предлагает Вите выписать N различных двузначных чисел. При каком наименьшем N Ваня всегда сможет выбрать среди выписанных Витей чисел такие два, что их разность записывается двумя одинаковыми цифрами?
Решение. Если разностью двух чисел является число, записываемое двумя одинаковыми цифрами, то эта разность делится без остатка на число 11. Чтобы это выполнялось, среди выписанных должны быть обязательно два числа, имеющие одинаковые остатки от деления на 11. Так как существует 11 различных остатков от деления различных натуральных чисел на 11, то (по принципу Дирихле) необходимо выписывать 12 чисел.
Ответ. 12 чисел.

Задача 5. В выпуклом четырёхугольнике ABCD: AB=CD, /A=/С. Верно ли, что этот четырёхугольник - параллелограмм?
Решение. Рассмотрим две окружности одинакового радиуса, пересекающиеся в точках В и D. В одной из них проведём хорду АВ на некотором расстоянии от её центра О, а в другой - хорду CD на таком же расстоянии от центра О₁, причём в одном случае точки О и О₁ должны лежать в одной полуплоскости относительно хорды, а в другом случае - в разных полуплоскостях.

Получим, что АВ=CD, так как это хорды в равных окружностях, которые расположены на равном расстоянии от их центров, и /ВАD=/ВCD, так как эти углы вписаны в равные окружности и опираются на равные дуги. При этом, AB и CD - не параллельны, так как во второй окружности существует хорда DE, параллельная АВ (DE=DC и лежит по другую сторону от точки О₁). Следовательно, четырёхугольник ABCD - не параллелограмм.
Ответ. Неверно.

Задача 1. Решить уравнение

|x+4|+|x|+|x-4|=8-x².

Задача 2. Найти все числа x, принадлежащие отрезку [0;1], и удовлетворяющие уравнению

sin⁴(cos⁴3x)+cos⁴(cos⁴3x)=1.

Задача 3. На плоскости заданы шесть точек, являющихся вершинами выпуклого шестиугольника. Доказать, что отношение наибольшего расстояния между двумя из заданных точек к наименьшему не менее 3^1/2.
Решение. Один из углов шестиугольника не менее 120^o. Рассмотрим вершину этого угла и две соседние с ней. В полученном треугольнике наибольшая сторона превосходит наименьшую не менее, чем в 3^1/2 раз, что следует непосредственно из теоремы косинусов, записанной для выделенного треугольника.

Задача 4. На доске записаны два числа a и b (a>b). Их стирают и заменяют числами (a+b)/2 и (a-b)/2. С вновь записанными числами поступают аналогичным образом. Верно ли, что после нескольких стираний разность между записанными на доске числами станет меньше 1/2001?
Решение. Записанные на доске числа будут иметь вид: a/(2^k₁), b/(2^k₁), (a-b)/(2^k₂), (a+b)/(2^k₂), где числа k₁, k₂ - неограниченно возрастают и, следовательно, сами записанные числа стремятся к нулю, то есть разность между ними может быть сделана как угодно малой.
Ответ. Да, верно.

Задача 5. В пространстве задан параллелограмм с острым углом a. Через вершины данного параллелограмма проведено 4 луча, не лежащие в плоскости параллелограмма и имеющие общую точку. Существует ли плоскость, пересекающая эти лучи в вершинах параллелограмма с другим острым углом?
Решение. Противолежащие стороны параллелограмма параллельны линии пересечения плоскостей, которым они принадлежат (эти плоскости образованы парами лучей, проходящих через смежные вершины параллелограмма). Поскольку таких плоскостей две пары, то острый угол параллелограмма равен острому углу между линиями пересечения данных плоскостей.
Ответ. Получить параллелограмм с другим острым углом нельзя.

Задача 1. Решите уравнение

(sin x - (sin x + cos x)^1/2)^1/2 = cos x.

Задача 2. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана произвольная точка M и из нее опущены перпендикуляры MK и MP на катеты этого треугольника. При каком положении точки M длина отрезка PK будет наименьшей?
Решение. Учитывая равенство диагоналей MC и PK, получаем, что длина отрезка PK будет наименьшей при условии, что CM - высота треугольника ABC. При выборе любой другой точки M₁ на гипотенузе AB, получим прямоугольный треугольник CMM₁, в котором CM - катет, а CM₁ - гипотенуза.
Ответ. M - основание высоты CM.

Задача 3. Найдите наименьшее расстояние между точками прямой y=x-1 и параболы y=x².
Решение. Искомое расстояние - это расстояние от прямой y=x-1 до касательной к параболе, параллельной этой прямой. Уравнение касательной: y=x-(1/4). Искомое расстояние - расстояние между данными прямыми - равно высоте в прямоугольном равнобедренном треугольнике со стороной 3/4, то есть 3/(4*2^1/2).
Ответ. 3/(4*2^1/2).

Задача 4. Можно ли разбить куб на шесть равных тетраэдров?
Решение. Разобьём куб ABCDA₁B₁C₁D₁ на три равных четырёхугольных пирамиды AA₁BCD, A₁CDD₁C₁ и A₁BCC₁B₁, каждую из которых затем разобьём на две равные треугольные пирамиды диагональю боковой грани.
Ответ. Да.

Задача 5. Может ли сумма 1000 последовательных нечётных чисел быть седьмой степенью натурального числа?
Решение. Пусть (n-999), (n-997), ..., (n-1), (n+1), ..., (n+999) - тысяча последовательных нечётных чисел. Тогда их сумма S=(n-999)+(n-997)+...+(n-1)+(n+1)+...+(n+999)=1000n. Если n=10⁴, то S=1000n=10⁷, то есть седьмой степени натурального числа.
Ответ. Да.

Задача 6. Из произвольной точки круглого бильярдного стола пущен шар. Докажите, что внутри стола найдётся такая окружность, что траектория шара её ни разу не пересечёт.
Решение. Заметим, что при отражении от "круглой стенки" угол падения шара (то есть угол между звеном и перпендикуляром к касательной к окружности бильярда в точке падения шара) равен углу отражения (то есть угол между следующим звеном и тем же перпендикуляром). Заметим, что расстояние от центра круга до звена ломаной из траектории не меняется.
Если это расстояние R>0, то годится любая окружность с центром в центре бильярдного стола и радиусом r<R, например r=R/2.
Если R=0, то траекторией шара является один из диаметров стола, всё остальное пространство свободно и там можно разместить какую-нибудь окружность.