LXXXIII Mосковская математическая олимпиада

8 класс

Задача 1. Том написал на заборе из досок слово ММО, а Гек — число 2020. Ширина каждой буквы и цифры 9 см, а ширина доски забора — 5 см. Мог ли Гек испачкать меньше досок, чем Том? (Доски расположены вертикально, а слова и числа пишутся горизонтально. Цифры и буквы пишутся через равные промежутки.) (Д. Мухин, А. Федулкин, И. Эльман)

Задача 2. На графике функции $y=1/x$ Миша отмечал подряд все точки с абсциссами 1, 2, 3, … , пока не устал. Потом пришла Маша и закрасила все прямоугольники, одна из вершин которых — это отмеченная точка, еще одна — начало координат, а еще две лежат на осях. Затем учительница попросила ребят посчитать площадь фигуры, состоящей из всех точек, закрашенных ровно один раз. Сколько получилось? (Д. Мухин)

Задача 3. Дано натуральное число $N$. Вера делает с ним следующие операции: сначала прибавляет 3 до тех пор, пока получившееся число не станет делиться на 5 (если изначально $N$ делится на 5, то ничего прибавлять не надо). Получившееся число Вера делит на 5. Далее делает эти же операции с новым числом, и так далее. Из каких чисел такими операциями нельзя получить 1? (А. Шаламова)

Задача 4. В турнире по гандболу участвуют 20 команд. После того как каждая команда сыграла с каждой по разу, оказалось, что количество очков у всех команд разное. После того как каждая команда сыграла с каждой по второму разу, количество очков у всех команд стало одинаковым. В гандболе за победу команда получает 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение — 0 очков. Верно ли, что найдутся две команды, по разу выигравшие друг у друга? (Б. Френкин, А. Заславский)

Задача 5. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на сторону $CD$, проходит через середину диагонали $BD$, а перпендикуляр, опущенный из точки $D$ на сторону $AB$, проходит через середину диагонали $AC$. Докажите, что трапеция равнобокая. (А. Доледенок)

Задача 6. У Полины есть колода из 36 карт (4 масти по 9 карт в каждой). Она выбирает из неё половину карт, какие хочет, и отдает Василисе, а вторую половину оставляет себе. Далее каждым ходом игроки по очереди открывают по одной карте по своему выбору (соперник видит масть и достоинство открытой карты), начиная с Полины. Если в ответ на ход Полины Василиса смогла положить карту той же масти или того же достоинства, то Василиса зарабатывает одно очко. Какое наибольшее количество очков Василиса может гарантированно заработать? (М. Евдокимов)

9 класс

Задача 1. Существует ли натуральное число, делящееся на $2020$, в котором всех цифр 0, 1, 2, …, 9 поровну? (М. Евдокимов)

Задача 2. Из шести палочек попарно различной длины сложены два треугольника (по три палочки в каждом). Всегда ли можно сложить из них один треугольник, стороны которого состоят из одной, двух и трех палочек соответственно? (В. Новиков)

Задача 3. Три богатыря сражаются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает половину всех голов и еще одну, Добрыня Никитич — треть всех голов и еще две, а Алёша Попович — четверть всех голов и еще три. Богатыри бьют по одному, в том порядке, в котором считают нужным. Если ни один богатырь не может ударить из-за того, что число голов получится нецелым, то Змей съедает богатырей. Смогут ли богатыри отрубить все головы $20^{20}$-головому Змею? (А. Заславский)

Задача 4. В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AB<BC$) провели высоту $BH$. Точка $P$ симметрична точке $H$ относительно прямой, соединяющей середины сторон $AC$ и $BC$. Докажите, что прямая $BP$ содержит центр описанной окружности треугольника $ABC$. (А. Соколов)

Задача 5. К Ивану на день рождения пришли $3n$ гостей. У Ивана есть $3 n$ цилиндров с написанными сверху буквами А, Б и В, по $n$ штук каждого типа. Иван хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или больше) так, чтобы длина каждого хоровода делилась на $3$, и при взгляде на любой хоровод сверху читалось бы по часовой стрелке АБВАБВ…АБВ. Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(3n)!$ различными способами. (Цилиндры с одинаковыми буквами неразличимы; все гости различны.) (Г. Погудин)

Задача 6. Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, $a<N$. Число $a$ он написал на доске. Затем он начал выполнять следующую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число, а полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число $0$, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных чисел была больше $100 N$? (И. Митрофанов)

10 класс

Задача 1. Приведите пример такого квадратного трехчлена $P(x)$, что при любом $x$ справедливо равенство $$ P(x)+P(x+1)+\dots + P(x+10)=x^2. $$ (М. Евдокимов)

Задача 2. Среди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее 3/7 фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин. (фольклор)

Задача 3. Существует ли вписанный в окружность 19-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов? (М. Малкин)

Задача 4. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к $BC$ пересекает $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$. Прямая $AO$ пересекает прямую $BC$ в точке $D$, $M$ — середина $BC$. Описанная окружность треугольника $ADM$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $E$, отличной от $A$. Докажите, что прямая $OE$ касается описанной окружности треугольника $AXY$. (А. Соколов)

Задача 5. На доске написаны 1000 последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся 1000 последовательных целых чисел. (А. Грибалко)

Задача 6. Для каких $k$ можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько клеток (конечное число, большее нуля) в черный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно $k$ черных клеток, либо вовсе не было черных клеток? (А. Динев, К. Гаров, Н. Белухов)

11 класс (1 день)

Задача 1. Приведите пример числа, делящегося на 2020, в котором каждая из десяти цифр встречается одинаковое количество раз. (М. Евдокимов)

Задача 2. Существует ли такая непериодическая функция $f$, определённая на всей числовой прямой, что при любом $x$ выполнено равенство $f(x+1)=f(x+1)f(x)+1?$ (фольклор)

Задача 3. В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AB<BC$) провели высоту $BH$. Точка $P$ симметрична точке $H$ относительно прямой, соединяющей середины сторон $AC$ и $BC$. Докажите, что прямая $BP$ содержит центр описанной окружности треугольника $ABC$. (А. Соколов)

Задача 4. Из шахматной доски $8\times8$ вырезали 10 клеток. Известно, что среди вырезанных клеток есть как черные, так и белые. Какое наибольшее количество двухклеточных прямоугольников можно после этого гарантированно вырезать из этой доски? (А. Кубарев)

Задача 5. Существует ли тетраэдр, в сечениях которого двумя разными плоскостями получаются квадраты $1\times1$ и $100\times100$? (М. Евдокимов)

Задача 6. На доске написаны $2n$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на сумму и разность чисел этой пары (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $2n$ последовательных чисел. (А. Грибалко)

11 класс (2 день)

Задача 1. Мальчик едет на самокате от одной автобусной остановки до другой и смотрит в зеркало, не появился ли сзади автобус. Как только мальчик замечает автобус, он может изменить направление движения. При каком наибольшем расстоянии между остановками мальчик гарантированно не упустит автобус, если он знает, что едет со скоростью втрое меньшей скорости автобуса и способен увидеть автобус на расстоянии не более 2 км? (фольклор)

Задача 2. Решите уравнение $$\operatorname{tg}\pi x = \left[\lg \pi^x\right]-\left[\lg \left[\pi^x \right]\right],$$ где $\left[a\right]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $a$. (А. В. Бегунц)

Задача 3. За круглым вращающимся столом, на котором стоят 8 белых и 7 чёрных чашек, сидят 15 гномов. Они надели 8 белых и 7 чёрных колпачков. Каждый гном берёт себе чашку, цвет которой совпадает с цветом его колпачка и ставит напротив себя, после этого стол поворачивается случайным образом. Какое наибольшее число совпадений цвета чашки и колпачка можно гарантировать после поворота стола (гномы сами выбирают, как сесть, но не знают, как повернётся стол)? (М. С. Лобанов)

Задача 4. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взяли такую точку $D$, что угол $BDC$ равен углу $ABC$. Чему равно наименьшее возможное расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $ABD$, если $BC = 1$? (М. А. Евдокимов)

Задача 5. Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к $b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$. (П. А. Бородин)