LXXXIX Mосковская математическая олимпиада

8 класс

Задача 1. Алиса записала положительные числа $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ (не обязательно целые), а Маруся — числа $\tfrac{1}{a}$, $\tfrac{1}{b}$, $\tfrac{1}{c}$, $\tfrac{1}{d}$, $\tfrac{1}{e}$. Оказалось, что сумма чисел Алисы больше суммы чисел Маруси. Могло ли произведение чисел Алисы оказаться меньше произведения чисел Маруси? (Д. Мухин)

Задача 2. В остроугольном треугольнике $ABC$ на высоте $BD$ внутри треугольника выбрали точку $E$. Точка $K$ — середина отрезка $AE$, точка $L$ — середина отрезка $BC$. Оказалось, что точки $K, D, L$ — последовательные вершины квадрата. Докажите, что четвертая вершина квадрата лежит на прямой $AB$. (Д. Мухин)

Задача 3. Полина записала число, оканчивающееся на $2026$. А Стёпа посчитал сумму всех натуральных делителей этого числа (включая $1$ и само число). Мог ли он получить число $1\,000\,000\,001$? (И. Сиротовский)

Задача 4. Король решил испытать своего придворного мудреца. Он выложил $144$ внешне одинаковые золотые монеты в виде квадрата $12\times 12$ и сообщил, что среди них ровно $12$ фальшивых монет, которые лежат в ряд (по горизонтали или вертикали). Все настоящие монеты весят одинаково, а фальшивые могут весить по-разному, но каждая из них легче настоящей. Король просит найти $110$ настоящих монет за два взвешивания на чашечных весах без гирь. Может ли мудрец действовать так, чтобы гарантированно справиться с заданием короля?

Чашечные весы показывают, на какой из двух чаш груз тяжелее. Если грузы весят одинаково, весы показывают равенство. На каждую из чаш можно положить любое количество монет. (М. Евдокимов)

Задача 5. Внутри равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=AC$) выбрана точка $D$ так, что $AD=BC, \angle DAB=\angle DBC$. Точка $K$ на отрезке $BD$ такова, что $\angle AKD=60^{\circ}$. Точки $K$ и $B$ различны. Докажите, что $\angle BAK=2\angle KAD$. (М. Федотова)

Задача 6. В совет входит $n\geqslant5$ эльфов, каждый из которых доверяет одному или нескольким другим эльфам (доверие необязательно взаимно). Они хотят, чтобы один из эльфов взял Кольцо Всевластья, а затем текущий владелец Кольца передавал его одному из тех, кому доверяет. Известно, что так от любого эльфа Кольцо может перейти (необязательно напрямую) к любому другому. Эльфы хотят действовать так, чтобы в результате $k$ передач Кольца оно хотя бы раз побывало у каждого эльфа. При каком наименьшем $k$ (для данного $n$) у них обязательно получится это сделать (вне зависимости от того, кто кому доверяет)? (М. Федотова)

9 класс

Задача 1. Алиса записала положительные числа $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ (не обязательно целые), а Маруся — числа $\tfrac{1}{a}$, $\tfrac{1}{b}$, $\tfrac{1}{c}$, $\tfrac{1}{d}$, $\tfrac{1}{e}$. Оказалось, что сумма чисел Алисы больше суммы чисел Маруси. Могло ли произведение чисел Алисы оказаться меньше произведения чисел Маруси? (Д. Мухин)

Задача 2. Дан остроугольный треугольник $ABC$. На его описанной окружности отмечена точка $D$, диаметрально противоположная вершине $A$. Точки $X$ и $Y$ на стороне $BC$ таковы, что $BX = XD$ и $CY = YD$ (точка $X$ лежит на отрезке $BY$). Докажите, что $DA$ — биссектриса угла $XDY$. (А. Доледенок)

Задача 3. На столе лежат 11 арбузов массами 1, 2, 3, …, 11 кг. Алёна и Богдан раскладывают арбузы в четыре пакета; каждый пакет выдерживает 14 кг, а от большего веса рвётся. Они по очереди выбирают арбуз со стола и кладут его в любой из пакетов так, чтобы пакет не порвался. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Начинает Алёна. Кто может обеспечить себе победу, как бы ни играл другой? (Л. Смирнова)

Задача 4. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $BC$ равны, $K$ — точка пересечения диагоналей. Описанная окружность треугольника $ABD$ повторно пересекает сторону $BC$ в точке $Y$, а описанная окружность треугольника $BCD$ повторно пересекает сторону $AB$ в точке $X$. Докажите, что $\angle AKX = \angle CKY$. (Ф. Нилов)

Задача 5. Существует ли бесконечное множество $S$, состоящее из квадратов натуральных чисел, такое, что для любых двух различных $x$ и $y$ из $S$ найдётся $z$ из $S$ (возможно, совпадающее с $x$ или $y$), для которого $x + y + z$ — квадрат натурального числа? (М. Евдокимов)

Задача 6. В гостинице $a\gt 1$ этажей, на каждом этаже $b$ одноместных номеров. На математический конгресс приехало $ab$ математиков. Оказалось, что каждому математику на каждом этаже нравится ровно один номер. Докажите, что число способов поселить всех математиков в гостиницу так, чтобы каждому нравился его номер, чётно. (В. Ретинский)

10 класс

Задача 1. Дан остроугольный треугольник $ABC$. На его описанной окружности отмечена точка $D$, диаметрально противоположная вершине $A$. Точки $X$ и $Y$ на стороне $BC$ таковы, что $BX=XD$ и $CY=YD$ (точка $X$ лежит на отрезке $BY$). Докажите, что $DA$ — биссектриса угла $XDY$. (А. Доледенок)

Задача 2. Дано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ с целыми ненулевыми коэффициентами $a$, $b$ и $c$, имеющее целый корень. Может ли оказаться, что если увеличить любой из этих трёх коэффициентов на 1, то полученное уравнение останется квадратным и также будет иметь целый корень? (М. Евдокимов)

Задача 3. Имеется двести шариков ста цветов, по два шарика каждого цвета. Фокусник разложил их произвольным образом в сто коробочек, по два шарика в коробочку, где что лежит — игрок не знает. За ход игрок указывает на любые две коробочки, после чего фокусник незаметно для игрока выбирает по шарику из этих коробочек и меняет их местами. Если в какой-то момент в каждой коробочке будут лежать разноцветные шарики, ведущий выдаёт игроку приз. Может ли игрок действовать так, чтобы гарантированно получить приз, как бы фокусник ни менял шарики? (Н. Чернятьев)

Задача 4. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $D$ и $E$ так, что $BD=DE=CE$. На отрезках $AB$, $AC, AE$ и $AD$ выбраны точки $L, K, P$ и $Q$ (все точки $A, B, C, D, E, K, L, P, Q$ различные) соответственно так, что $$ \angle EAD= \angle PDE=\angle QED=\angle AKP =\angle ALQ. $$ Докажите, что $LK +DE \leqslant AD+AE$. (А. Осипов)

Задача 5. Назовём набор из $k$ последовательных натуральных чисел хорошим, если можно у каждого из этих чисел выбрать по простому делителю так, чтобы у всяких двух разных чисел были выбраны разные делители. В противном случае назовём набор плохим. При всяком ли натуральном $k$ количество плохих наборов из $k$ последовательных натуральных чисел конечно? (Ю. Богомолов, А. Тертерян)

Задача 6. Дано натуральное $n\geqslant 2$. Симметрический многочлен $P(x_1,\ldots, x_n)$ таков, что уравнение $P(x_1,\ldots, x_n)=0$ имеет вещественные решения, причём все эти решения получаются перестановкой чисел из одного-единственного набора $a_1,\ldots,a_n$. Известно, что в этом наборе есть хотя бы два различных числа. Для каждого $n \geqslant 2$ найдите наименьшую возможную степень многочлена $P$.

Многочлен называется симметрическим, если он не меняется при любой перестановке своих переменных. Степенью многочлена $P$ от нескольких переменных называется наибольшая из сумм показателей степеней переменных в ненулевых слагаемых (одночленах) многочлена $P$, записанного в стандартном виде. Например, у многочлена $P(x,y) = x^3y^3 + xy^4 + x^4y$ степень равна 6 (так как $3+3=6$, а это больше, чем $4+1=5$). (Е. Волокитин)

11 класс (1 день)

Задача 1. Можно ли расставить в вершинах и в серединах рёбер правильного октаэдра по одному натуральному числу от $1$ до $18$ так, чтобы все числа были различны, а в каждой вершине стояло число, равное сумме четырёх чисел, стоящих в серединах исходящих из этой вершины рёбер? (М. Евдокимов)

Задача 2. Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. На сторонах $AC$ и $AB$ взяли точки $K$ и $L$ соответственно так, что прямая $IK$ перпендикулярна $CI$, а $KL$ параллельна $BI$. Докажите, что треугольник $LKI$ — равнобедренный. (М. Евдокимов)

Задача 3. Петя и Вася играют в следующую игру. Сначала они пишут по единице, каждый на своей доске. Далее они по очереди (начинает Петя) заменяют каждый своё число, умножая его либо на $2$, либо на $3$, причём после каждого хода числа, записанные на досках, должны быть различными. Пусть $a$ — количество натуральных делителей числа Пети после его $100$-го хода, а $b$ — количество натуральных делителей числа Васи после его $100$-го хода. По итогам игры Петя получает $|a-b|$ фантиков. При каком наибольшем натуральном $n$ Петя может действовать так, чтобы гарантированно получить не менее $n$ фантиков вне зависимости от действий Васи? (И. Михайлов)

Задача 4. В гостинице $a\gt 1$ этажей, на каждом этаже $b$ одноместных номеров. На математический конгресс приехало $ab$ математиков. Оказалось, что каждому математику на каждом этаже нравится ровно один номер. Докажите, что число способов поселить всех математиков в гостиницу так, чтобы каждому нравился его номер, чётно. (В. Ретинский)

Задача 5. Надя загадала многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами. За один ход Максим может назвать любой многочлен $Q(x)$ с вещественными коэффициентами, а в ответ Надя должна сообщить Максиму следующие два факта:
$\bullet$ достигается ли максимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно;
$\bullet$ достигается ли минимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно.
Максим хочет последовательно сделать несколько таких ходов, а затем назвать такое число $t$, что $|P(2026)-t| \lt 10^{-100}$. Докажите, что Максим может действовать так, чтобы гарантированно добиться желаемого. (Максим сам решает, когда ему перестать задавать вопросы.) (Л. Шатунов)

Задача 6. В основании выпуклой четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит четырёхугольник $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны, а никакие две стороны не равны. Известно, что вписанные сферы тетраэдров $SABC$ и $SACD$ касаются. Докажите, что вписанные сферы тетраэдров $SABD$ и $SBCD$ касаются. (А. Доледенок)